Question

3．已知数列{a_n}是首项为1，公差为d的等差数列；数列{b_n}是公比为2的等比数列，且{b_n}的前4项的和为$\frac{15}{2}$．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若d=3，求数列{a_n}中满足b₈≤a_i≤b₉（i∈N^*）的所有项a_i的和．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用等比数列的前n项和公式和通项公式以及等比数列的性质，求出首项和公差，数列{b_n}的通项公式，
（2）由已知条件利用等差数列的定义求出通项公式，b₈=2⁶=64，b₉=2⁷=128，a_n=3n-2，由b₈≤a_i≤b₉（i∈N^*），得64≤3i-2≤128，从而得到22≤i≤43，由此能求出满足条件的所有项a_i的和．

解答 解：（1）因为{b_n}是公比为2的等比数列，且其前4项的和为$\frac{15}{2}$，
所以${b_1}（1+2+4+8）=\frac{15}{2}$，解得${b_1}=\frac{1}{2}$，所以${b_n}=\frac{1}{2}×{2^{n-1}}={2^{n-2}}$．
（2）因为数列{a_n}是首项为1，公差d=3的等差数列，
所以a_n=3n-2，
由b₈≤a_i≤b₉，
得2⁶≤3i-2≤2⁷，
解得22≤i≤43，
所以满足b₈≤a_i≤b₉的所有项a_i为a₂₂，a₂₃，…，a₄₃，
这是首项为a₂₂=64，公差为3的等差数列，
共43-22+1=22项，
故其和为$64×22+\frac{22×21}{2}×3=2101$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．