Question

10．在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一个巨大的汽油灌，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击相互独立，且命中概率都是$\frac{2}{3}$，求：
（1）油罐被引爆的概率；
（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

Answer 1

分析 （1）由题意便知需命中2次引爆油罐，且第二次命中时停止射击，这样可设A_i=“射击i+1次引爆油罐”，i=1，2，3，4，根据符合二项分布的变量的概率的求法及独立事件同时发生的概率的求法即可求出油罐被引爆的概率；
（2）根据题意知变量ξ的取值为2，3，4，5，并且取5时包含这样几种情况：5次都未打中，5次只有1次打中，打中2次且第5次打中，这三个事件相互独立，求出每个事件的概率再求和即可，列表表示ξ的分布列，根据期望的计算公示求ξ的数学期望即可．

解答 解：（1）根据题意知只要命中2次就能引爆油罐，并且第2次命中时便停止射击；
设A_i=“射击i+1次引爆油罐”，i∈N^*，且i＜6；
∴P（“油罐被引爆”）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）+P（A₄）=$\frac{2}{3}•\frac{2}{3}+{{C}_{2}}^{1}（\frac{2}{3}）•\frac{1}{3}•\frac{2}{3}$$+{{C}_{3}}^{1}（\frac{2}{3}）•（\frac{1}{3}）^{2}•\frac{2}{3}$$+{{C}_{4}}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{3}•\frac{2}{3}$=$\frac{232}{243}$；
（2）ξ的分布列为：

ξ	2	3	4	5
P	$\frac{4}{9}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{1}{9}$

∴E（ξ）=$\frac{4}{9}×2+\frac{8}{27}×3+\frac{4}{27}×4+\frac{1}{9}×5$=$\frac{79}{27}$．

点评 考查独立事件的概念，独立事件同时发生的概率，符合二项分布的变量的概率，以及离散型随机变量的分布列的求法，数学期望的概念及求法．