Question

已知函数f（x）=ln（1+x²）+ax，其中a为不大于零的常数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：(1+

1

22

)(1+

1

42

)•…•(1+

1

22n

)＜e（n∈N^*，e为自然对数的底数）．

Answer 1

（1）f′(x)=

2x

1+x2

+a=

ax2+2x+a

1+x2

，（1分）
①当a=0时，∵f'（x）＞0?2x＞0，即x＞0，f'（x）＜0?2x＜0，即x＜0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；（3分）
②当

a＜0 △≤0

，即a≤-1时，f′（x）≤0对x∈R恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；（5分）
③当-1＜a＜0时，∵f′（x）＞0?ax²+2x+a＞0?

-1+ 1-a2

a

＜x＜

-1- 1-a2

a

，
f′（x）＜0?ax²+2x+a＜0?x＜

-1+ 1-a2

a

或x＞

-1- 1-a2

a

，
∴f(x)在(

-1+ 1-a2

a

，

-1- 1-a2

a

)上单调递增，
在(-∞，

-1+ 1-a2

a

)和(

-1- 1-a2

a

，+∞)上单调递减；  （7分）
综上所述，当a≤-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
当-1＜a＜0时，f（x）在(

-1+ 1-a2

a

，

-1- 1-a2

a

)上单调递增，
在(-∞，

-1+ 1-a2

a

)和(

-1- 1-a2

a

，+∞)上单调递减．
当a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）上单调递减；（8分）
（2）由（1）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
当x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）=0得：ln（1+x²）＜x，（10分）
∴ln[(1+

1

22

)(1+

1

42

)•…•(1+

1

22n

)]=ln(1+

1

22

)+ln(1+

1

42

)+…+ln(1+

1

22n

)＜

1

2

+

1

4

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=(1-

1

2n

)＜1=lne，
∴(1+

1

22

)(1+

1

42

)•…•(1+

1

22n

)＜e（14分）