【题目】已知点为椭圆
的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,直线
与椭圆
有且仅有一个交点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与
轴交于
,过点
的直线与椭圆
交于两不同点
,
,若
,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】(Ⅰ)求椭圆标准方程,只要求出参数,由于有
,因此要列出关于
的两个方程,而由条件两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形得
,再利用已知直线与椭圆只有一个公共点,即判别式为0可求得椭圆方程;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得点的坐标,从而可得
,要求
范围只要求得
的范围,为此可直线
分类,对
斜率不存在时,求得
,而当直线
斜率存在时,可设出直线方程为
,同时设
,则
,由韦达定理可把
表示为
的函数,注意直线与椭圆相交,判别式>0,确定
的范围,从而可得
的范围,最后可得
的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)由题意,得,则椭圆
为:
,
由,得
,
直线
与椭圆
有且仅有一个交点
,
,
椭圆
的方程为
;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
直线
与
轴交于
,
,
当直线与
轴垂直时,
,
由
,
当直线与
轴不垂直时,设直线
的方程为
,
,
由 ,
依题意得, ,且
,
,
,
,
综上所述, 的取值范围是
.
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【题目】过椭圆:
上一点
向
轴作垂线,垂足为右焦点
,
、
分别为椭圆
的左顶点和上顶点,且
,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若动直线与椭圆
交于
、
两点,且以
为直径的圆恒过坐标原点
.问是否存在一个定圆与动直线
总相切.若存在,求出该定圆的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知点,点
是直线
上的动点,过
作直线
,
,线段
的垂直平分线与
交于点
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)若点是直线
上两个不同的点,且
的内切圆方程为
,直线
的斜率为
,求
的取值范围.
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【题目】海州市六一儿童节期间在妇女儿童活动中心举行小学生“海州杯”围棋比赛,规则如下:甲、乙两名选手比赛时,每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或赛满6局时比赛结束.设某校选手甲与另一选手乙比赛时,甲每局获胜的概率皆为,且各局比赛胜负互不影响,已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为
.
(1)求的值;
(2)设表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量
的分布列和数学期望
.
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【题目】已知函数,设
为曲线
在点
处的切线,其中
.
(Ⅰ)求直线的方程(用
表示);
(Ⅱ)求直线在
轴上的截距的取值范围;
(Ⅲ)设直线分别与曲线
和射线
(
)交于
,
两点,求
的最小值及此时
的值.
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【题目】高二年级的一个研究性学习小组在网上查知,某珍贵植物种子在一定条件下发芽成功的概率为,该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验.
(1)第1组做了5次这种植物种子的发芽实验(每次均种下一粒种子),求他们的实验至少有3次成功的概率;
(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子),如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验,否则将继续进行下次实验,直到种子发芽成功为止,但发芽实验的次数最多不超过5次,求第二小组所做种子发芽实验的次数的概率分布列和期望.
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