Question

11．已知函数y=$\frac{1}{2}$sin（3x+$\frac{π}{6}$）+1
（1）求y取最值时的x的值；
（2）求函数的单调递增区间、单调递减区间；
（3）写出它的图象可以怎样由正弦函数的图象变换得出．

Answer 1

分析 （1）由3x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，和 3x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈z，求得x的值，即为所求． 
（2）由 2kπ-$\frac{π}{2}$≤3x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得x的范围，即得函数的增区间；由2kπ+$\frac{π}{2}$≤3x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，求得x的范围，即得函数的减区间．
（3）先将y=sinx上每一点的横坐标变为原来的$\frac{1}{3}$，再将所得图象向左平移$\frac{π}{18}$个单位，然后将所得图象上每一点的纵坐标变为原来的$\frac{1}{2}$，再把所得图象向上平移一个单位，即可得到y=$\frac{1}{2}$sin（3x+$\frac{π}{6}$）+1的图象．

解答 解：（1）当3x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，（k∈Z），即x=$\frac{π}{9}$+$\frac{2}{3}$kπ时，y_max=$\frac{3}{2}$；
当3x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，（k∈Z），即x=-$\frac{2π}{9}$+$\frac{2}{3}$kπ时，y_min=$\frac{1}{2}$．…（12分）
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤3x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，可解得函数的单调递增区间为：[-$\frac{2π}{9}$+$\frac{2}{3}$kπ，$\frac{π}{9}$+$\frac{2}{3}$kπ]，k∈Z，
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤3x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，可解得函数的单调递减区间为：[$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{9}$，$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{4}{9}$π]，k∈Z．
（3）先将正弦曲线上每一点的横坐标变为原来的$\frac{1}{3}$（纵坐标不变），得到y=$\frac{1}{2}$sin3x 的图象．
再将所得图象向左平移$\frac{π}{18}$个单位，然后将所得图象上每一点的纵坐标变为原来的$\frac{1}{2}$（横坐标不变），
得到y=$\frac{1}{2}$sin（3x+$\frac{π}{6}$）的图象．最后将所得图象向上平移一个单位，即可得到y=$\frac{1}{2}$sin（3x+$\frac{π}{6}$）+1的图象．

点评 本题主要考查y=Asin（ωx+∅）的图象变换，求三角函数的单调区间和最值的方法，属于中档题．