Question

19．过点P（2，1）作直线l分别交x，y轴于A，B两点，求：
（1）|PA|•|PB|取得最小值时l的方程
（2）|OA|•|OB|取得最小值时l的方程．

Answer 1

分析 （1）画出图形，结合图形，设出∠BAO=θ，0°＜θ＜90°，利用三角函数求出PA、PB的最小值对应的直线l的方程即可；
（2）由题意设直线的截距式方程，利用基本不等式求出|OA|•|OB|取最小值时的直线l的方程即可．

解答 解：（1）如图所示：
设∠BAO=θ，0°＜θ＜90°，
则PA=$\frac{1}{sinθ}$，PB=$\frac{2}{cosθ}$，
∴|PA|•|PB|=$\frac{2}{sinθ•cosθ}$=$\frac{4}{sin2θ}$，
∴2θ=90°，即θ=45°时，
|PA|•|PB|取最小值时，直线l的倾斜角为135°，斜率为-1，
直线l的方程为y-1=-1（x-2），
化简得x+y-3=0；
（2）由题意设直线的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1（a，b＞0），
∵直线过P（2，1），∴$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，
∴1=$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$≥2$\sqrt{\frac{2}{a}•\frac{1}{b}}$=2$\sqrt{\frac{2}{ab}}$，∴ab≥8，
当且仅当$\frac{2}{a}$=$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$即a=4且b=2时取等号，
∴|OA|•|OB|的最小值为8，此时直线l的方程为$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{2}$=1，
化为一般式方程可得x+2y-4=0．

点评 本题考查直角三角形中的边角关系，三角函数的最值问题，用点斜式求直线的方程，也考查了直线的截距式方程以及基本不等式的应用问题，是中档题目．