Question

（本小题满分12分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥P—ABCD中，，平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1。

（1）求证：平面PAB；

（2）求面PCD与面PAB所成锐二面角的正切值；

（3）在PC上是否存在一点E，使得DE//平面PAB？若存在，请找出；若不存在，说明理由。

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：由题意 

     

       ………………………………… 4分

（Ⅱ）（法一）延长BA、CD交于Q点，过A作AH⊥PQ,垂足为H,连DH

由（Ⅰ）及AD∥BC知：AD⊥平面PAQ

∴ AD⊥PQ且AH⊥PQ

所以PQ⊥平面HAD，即PQ⊥HD.

所以∠AHD是面PCD与面PBA所成的二面角的平面角. …………… 6分

易知，所以

所以面PCD与面PAB所成二面角的正切值为.        ………………8分

 

 

（Ⅲ）解：存在.                   ……………………………………………………9分

在BC上取一点F,使BF=1，则DF∥AB.由条件知，PC=,在PC上取点E,使PE=,则EF∥PB.                       ………………10分

所以，平面EFD∥平面PAB

故 DE∥平面PAB       …………………………………………………12分

【解析】略