Question

若函数f(x)=

3 + 3 cos2x

2sin( π 2 -x)

-2a sin

x

2

cos(π-

x

2

)(a＞0)的最大值为2．
（1）试确定常数a的值；
（2）若f(α-

π

3

)-4cosα=0，求

cos2α+ 1 2 sin2α

sin2α-cos2α

的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的和与差的公式结合辅助角公式将f（x）化简为：f（x）=

a2+3

sin（x+φ）（其中tanφ=

3

a

），依题意列方程即可求得a的值；
（2）由（1）可知，f（x）=2sin（2x+

π

3

），结合条件f（α-

π

3

）-4cosα=0可求得tanα的值，从而可求

cos2α+ 1 2 sin2α

sin2α-cos2α

的值．

解答：解：（1）∵f（x）=

3 + 3 cos2x

2sin( π 2 -x)

-2asin

x

2

cos（π-

x

2

）
=

2 3 cos2x

2cosx

+asinx…3分
=

3

cosx+asinx（x≠kπ+

π

2

，k∈Z）…4分
=

a2+3

sin（x+φ）（其中tanφ=

3

a

），…5分
由题意可知

a2+3 =2 a＞0

，解得a=1…7分
（2）由（1）可知，f（x）=2sin（x+

π

3

），
∵f（α-

π

3

）-4cosα=0，
∴2sinα-4cosα=0，…8分
∴tanα=2，…10分
∴

cos2α+ 1 2 sin2α

sin2α-cos2α

=

cos2α+sinαcosα

sin2α-cos2α

=

1+tanα

tan2α-1

=

1+2

22-1

=1…13分

点评：本题考查两角和与差的三角函数，考查辅助角公式的应用，考查弦函数与切函数的转化，求得f（x）=2sin（2x+

π

3

）是关键，属于中档题．