Question

有四个关于三角函数的命题：
（1）P₁：?x∈R，sin²

x

2

+cos²

x

2

=

1

2

；    
（2）P₂：?x、y∈R，sin（x-y）=sinx-siny；
（3）P₃：?x∈[0，π]，

1-cos2x 2

=sinx；    
（4）P₄：sinx=cosy⇒x+y=

π

2

，其中真命题的是

（2）（3）

．

Answer 1

分析：利用同角三角函数的基本关系式判断（1）的正误；
利用特例判断（2）的正误；
利用二倍角公式化简判断（3）的正误；
利用三角方程求出x，y的关系，判断（4）的正误；

解答：解：（1）：?x∈R，sin²

x

2

+cos²

x

2

=

1

2

； 不满足同角三角函数的基本关系式的平方关系式，所以不正确；   
（2）：?x、y∈R，sin（x-y）=sinx-siny；例如x=1，y=0，左式成立，所以（2）正确；
（3）：?x∈[0，π]，

1-cos2x 2

=

1-1+2sin2x 2

=sinx；正确．    
（4）：sinx=cosy⇒sinx=sin（

π

2

-y），x=

π

2

-y+2kπ或x=

3π

2

-y+2kπ，k∈Z，所以（4）不正确．
真命题有（2）（3）．
故答案为：（2）（3）．

点评：本题考查特称命题，全称命题，命题的真假判断与应用，考查基本知识的应用．