Question

有四个关于三角函数的命题：p₁：存在x∈R，使得sin²

x

2

+cos²

x

2

=

1

2

；p₂：若一个三角形两内角α、β满足sinα•cosβ＜0，则此三角形为钝角三角形；p₃：任意的x∈[0，π]，都有sinx=

1-cos2x 2

；p₄：要得到函数y=sin(

x

2

-

π

4

)的图象，只需将函数y=sin

x

2

的图象向右平移

π

4

个单位．其中假命题的是（　　）

A．p₁，p₃

B．p₂，p₄

C．p₁，p₄

D．p₂，p₄

Answer 1

分析：P₁：同角正余弦的平方和为1，显然错误；
p₂：若一个三角形两内角α、β满足sinα•cosβ＜0，说明一个角是钝角，即可判断正误；
P₃将根号中的式子利用二倍角公式化为平方形式，再注意正弦函数的符号即可判断正误．
p₄：要得到函数y=sin(

x

2

-

π

4

)的图象，只需将函数y=sin

x

2

的图象向右平移

π

2

个单位．即可判断结论的正误；

解答：解：P₁：?x∈R都有sin²

x

2

+cos²

x

2

=1，故P₁错误；
p₂：若一个三角形两内角α、β满足sinα•cosβ＜0，所以cosβ＜0，则此三角形为钝角三角形；正确．
P₃：?x∈[0，π]，sinx＞0，且1-cos2x=2sin²x，所以

1-cos2x 2

=sinx正确；
p₄：将函数y=sin

x

2

的图象向右平移

π

4

个单位．要得到函数y=sin(

x

2

-

π

8

)的图象，所以不正确．
故选C．

点评：本题是综合题，考查三角函数以及三角形的有关知识，考查知识的综合应用，是基础题．