Question

设函数f（x）=x²+aln（x+1）（a为常数）
（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是单凋递增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若函数y=f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，求证：0＜

f(x2)

x1

＜-

1

2

+ln2．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：转化思想

分析：（Ⅰ）已知原函数的值为正，得到导函数的值非负，从而求出参量的范围；
（Ⅱ）利用韦达定理，对所求对象进行消元，得到一个新的函数，对该函数求导后，再对导函数求导，通过对导函数的导导函数的研究，得到导函数的最值，从而得到原函数的最值，即得到本题结论．

解答： 解：（Ⅰ）根据题意知：f′（x）=

2x2+2x+a

x+1

≥0在[1，+∞）上恒成立．
即a≥-2x²-2x在区间[1，+∞）上恒成立．
∵-2x²-2x在区间[1，+∞）上的最大值为-4，
∴a≥-4；
经检验：当a=-4时，f ′(x)=

2x2+2x-4

x+1

=

2(x+2)(x-1)

(x+1)

≥0，x∈[1，+∞）．
∴a的取值范围是[-4，+∞）．
（Ⅱ）f ′(x)=

2x2+2x+a

x+1

=0在区间（-1，+∞）上有两个不相等的实数根，
即方程2x²+2x+a=0在区间（-1，+∞）上有两个不相等的实数根．
记g（x）=2x²+2x+a，则有

- 1 2 ＞-1 g(- 1 2 )＜0 g(-1)＞0

，解得0＜a＜

1

2

．
∴x1+x2=-1，2x22+2x2+a=0，x2=-

1

2

+

1-2a

2

，-

1

2

＜x2＜0．
∴

f(x2)

x1

=

x22-(2x22+2x2)ln(x2+1)

-1-x2

令k(x)=

x2-(2x2+2x)ln(x+1)

-1-x

，x∈(-

1

2

，0)．
k′(x)=

x2

(1+x)2

+2ln(x+1)，
记p(x)=

x2

(1+x)2

+2ln(x+1)．
∴p′(x)=

2x2+6x+2

(1+x)3

，
p′(-

1

2

)=-4，p′(0)=2．
在x0∈(-

1

2

，0)使得p′（x₀）=0．
当 x∈(-

1

2

，x0)，p′（x）＜0；当x∈（x₀，0）时，p′（x）＞0．
而k′（x）在(-

1

2

，x0)单调递减，在（x₀，0）单调递增，
∵k′(-

1

2

)=1-2ln2＜0．k′(0)=0，
∴当x∈(-

1

2

，0)，k′(x)＜0，
∴k（x）在(-

1

2

，0)单调递减，
即0＜

f(x2)

x1

＜-

1

2

+ln2．

点评：本题考查的是导数知识，重点是利用导数法研究函数的单调性、究极值和最值，难点是多次连续求导，即二次求导，本题还用到消元的方法，难度较大．