Question

已知函数f（x）=

3

sinxcosx+cos²x+

1

2

．
（1）求f（x）的最小正周期，并求出当x∈[

π

6

，

π

2

]时，函数f（x）的值域；
（2）当x∈[

π

6

，

π

2

]时，若f（x）=

8

5

，求f（x-

π

12

）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）化简函数f （x）=

3

sinxcosx+cos²x+

1

2

．为一个角的一个三角函数的形式，然后求f （x）的周期以及函数的值域；
（2）利用f（x）=

8

5

，求出sin(2x+

π

6

)的值，以及余弦函数值，然后利用两角和与差的三角函数求解f（x-

π

12

）的值．

解答： 解：（1）函数f（x）=

3

sinxcosx+cos²x+

1

2

=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

+

1

2

=sin（2x+

π

6

）+1，
∴T=

2π

2

=π，
由

π

6

≤x≤

π

2

得

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]．
当x∈[

π

6

，

π

2

]时，函数f（x）的值域[

1

2

，2]；
（2）f(x)=sin(2x+

π

6

)+1=

8

5

，则sin(2x+

π

6

)=

3

5

；
x∈[

π

6

，

π

2

]，

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴cos（2x+

π

6

）=-

1-( 3 5 )2

=-

4

5

…（9分）
f(x-

π

12

)=sin2x+1…（10分）
=sin(2x+

π

6

-

π

6

)+1
=sin（2x+

π

6

）cos

π

6

-cos（2x+

π

6

）sin

π

6

+1…（11分）
=

3 3

10

+

7

5

…（13分）

点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的周期以及函数的值域，考查计算能力．