Question

如图，已知点P是三角形ABC所在平面外一点，且PA=BC=1，截面EFGH分别平行于PA，BC（点E，F，G，H分在棱AB，AC，PC，PB上）
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形且周长为定值；
（2）设PA与BC所成角为θ，求四边形EFGH的面积的最大值．

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）利用线面平行的判定与性质，证出EF∥GH且EH∥FG，从而得到四边形EGFH的两组对边分别平行，即四边形EFGH为平行四边形，再由平行得对应边比例，利用整体求值求出EF+EH=1，进而求出四边形EFGH的周长为定值；
（2）由异面直线所成角的定义求出∠HEF，利用正弦定理的面积公式得到截面EFGH的面积S，再利用平行线分线段成比例定理和基本不等式，得到当且仅当E为AB的中点时取到最大值．由此即可算出截面EFGH的面积最大值．

解答： （1）证明：∵PA∥平面EFGH，PA?平面PAB，平面PAB∩平面EFGH=EH
∴PA∥EH．同理可得PA∥GF，可得EH∥GF，
同理得到EF∥HG，
∴四边形EGFH中，两组对边分别平行，
因此，四边形EFGH为平行四边形．
∵空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形．
且PA=BC=1，
∴

EH

AP

=

EB

AB

①，

EF

BC

=

AE

AB

②，
则①+②得，

EH

AP

+

EF

BC

=

EB+AE

AB

=1
∵PA=BC=1，∴EF+EH=1，
∴四边形EFGH的周长=2，故四边形EFGH的周长为定值．
2）∵PA与BC所成角为θ，
∴平行四边形EFGH中∠HEF=θ或180°-θ，
可得截面EFGH的面积S=HE•EF•sin∠EGE=HE•EF•sinθ，
设

EH

AP

=

EB

AB

=λ，则

EF

BC

=

AE

AB

=1-λ，
∴EH=λPA=λ，同理可得EF=1-λ，且0＜λ＜1，
则S=λ（1-λ）sinθ≤(

λ+1-λ

2

)2sinθ=

1

4

sinθ，
当且仅当λ=

1

2

等号成立，
由此可得：当E为AB的中点时，截面EFGH的面积最大，最大值为

1

4

sinθ．

点评：本题主要考查了线面平行的判定与性质、平行线分线段成比例定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．