Question

已知曲线C：x²+y²+2x+m=0（m∈R）
（1）讨论曲线C的形状；
（2）若m=-7，过点P（-1，2）的直线与曲线C交于A，B两点，且|AB|=2

7

，求直线AB的倾斜角α．

Answer 1

分析：（1）通过配方后，对m分类讨论即可得出；
（2）利用点到直线的距离公式先求出圆心到直线的距离，再利用|AB|=2

r2-d2

即可求出直线的斜率．

解答：解：（1）由曲线C：x²+y²+2x+m=0可得（x+1）²+y²=1-m，
①当1-m＞0，即m＜1时，曲线C表示的是以C（-1，0）为圆心，r=

1-m

为半径的圆；
②当1-m=0，即m=1时，曲线C表示的是一个点C（-1，0）；
③当1-m＜0，即m＞1时，曲线C不表示任何图形．
（2）当m=-7时，曲线C化为：（x+1）²+y²=8．
若直线AB⊥x轴，则线段AB为直径，于是|AB|=4

2

与已知|AB|=2

7

矛盾，应舍去，因此直线AB与x轴不垂直．
设直线AB的斜率为k，则方程为y-2=k（x+1），化为kx-y+k+2=0．
由点到直线的距离公式可得圆心C（-1，0）到直线AB的距离d=

|-k+k+2|

k2+1

=

2

k2+1

，
∵|AB|=2

r2-d2

，
∴2

7

=2

8-( 2 k2+1 )2

，化为k²=3，∴k=±

3

．
∴tanα=±

3

，又∵α∈[0，π），∴α=

π

3

或

2π

3

．

点评：熟练掌握圆的一般方程与标准方程、配方法、分类讨论的思想方法、直线与圆相交弦长公式|AB|=2

r2-d2

是解题的关键．