Question

函数.

（I）函数在点处的切线与直线垂直，求a的值；

（II）讨论函数的单调性；

（III）不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

（I）（II）当时，函数f(x)在区间上是单调递增；

当时，函数f(x)在区间上单调递增；在区间上单调递减；在区间上单调递增（III）．

【解析】

试题分析：（I）求导，利用导数的几何意义与两直线垂直的判定进行求解；（II）求导，讨论二次方程的根的个数、根的大小关系，进而判定其单调性；（III）分离常数，转化为求函数的求值问题.

试题解析：（I）函数定义域为,， 1分

，由题意，解得. 4分

（II），

令，，

（i）当时，，,，函数f(x) 在上单调递增；

（ii）当时，，,函数f(x) 在上单调递增；

（iii）当时，，

在区间上，,，函数f(x)单调递增；在区间上，,，函数f(x)单调递减；在区间上，,，函数f(x)单调递增；

（iv）当时，，在区间上，，，函数f(x)单调递增. 8分

综上所述：当时，函数f(x)在区间上是单调递增；

当时，函数f(x)在区间上单调递增；在区间上单调递减；在区间上单调递增. 9分

法二：（i）当时，恒成立，函数f(x)在上单调递增；

，令，，

（ii）当时，，，函数f(x)在上单调递增；

（iii）当时，，

在区间上，，函数f(x) 单调递增；在区间上，，，函数f(x)单调递减；在区间上，，函数f(x) 单调递增. 8分

综上所述：当时，函数f(x)在区间上是单调递增；

当时，函数f(x)在区间上单调递增；在区间上单调递减；在区间上单调递增. 9分

法三：因为x>0，.

（i）当时，在区间上函数f(x) 单调递增；

（ii）当时，，

在区间上，，函数f(x) 单调递增；在区间上，，函数f(x) 单调递减；在区间上，，函数f(x) 单调递增. 8分

综上所述：当时，函数f(x)在区间上是单调递增；

当时，函数f(x)在区间上单调递增；在区间上单调递减；在区间上单调递增. 9分

（III）不等式在区间上恒成立等价于. 10分

令，

，

在区间上，，函数g(x)为减函数；

在区间上，，函数g(x)为增函数； 12分

得，

所以实数的范围是．

考点：1.导数的几何意义；2.函数的单调性；3.不等式很犀利问题；4.分类讨论思想.