Question

(本小题满分12分)如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．
（1）按下列要求建立函数关系式： 
（i）设（rad），将表示成的函数；
（ii）设（km），将表示成的函数；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。

Answer 1

;时,管道总长度最短

(1) （i）由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，
则,
故，OP＝， 。。。。。。。。。。。（2分）
所以，
所求函数关系式为①。。。。。。。（4分）
（没注明定义域扣1分）
（ii）若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA
=OB=  。。。。。。。。。。。。。。。。。。（6分）
所求函数关系式为。。。。。。。。。（8分）
（没注明定义域扣1分）
(2)若选择函数模型①，设
则 
解得。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（10分）
当时,取得最小值.
故当时,管道总长度最短.。。。。。。。。。。。。。。。。。（12分）
若选择函数模型
平方化简得

解得。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（10分）
将代入方程,得
故当时,管道总长度最短. 。。。。。。。。。。。。。。。。（12分）