Question

在等差数列{a_n}中，S_n为前n项和．
（1）若a₁+a₉+a₁₂+a₂₀=20，求S₂₀；
（2）若S₁=1，S₈=4，求a₁₇+a₁₈+a₁₉+a₂₀的值；
（3）若已知首项a₁=13，且S₃=S₁₁，问此数列前多少项的和最大？

Answer 1

考点：等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a₁+a₉+a₁₂+a₂₀=2（a₁+a₂₀）=20，得a₁+a₂₀=10，由此能求出S₂₀．
（2）由S₁=1，S₈=4，求出a1=1，d=-

1

7

，利用a₁₇+a₁₈+a₁₉+a₂₀=S₂₀-S₁₆，根据等差数列前n项和公式能求出结果．
（3）由a₁=13，且S₃=S₁₁，利用等差数列前n项和公式求出d=-2，由此能求出n=7时，S_n取最大值S₇=49．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}中，a₁+a₉+a₁₂+a₂₀=2（a₁+a₂₀）=20，
∴a₁+a₂₀=10，
∴S₂₀=

20

2

(a1+a20)=10×10=100．
（2）∵等差数列{a_n}中，S₁=1，S₈=4，
∴

a1=1 8a1+ 56 2 d=4

，解得a1=1，d=-

1

7

，
∴a₁₇+a₁₈+a₁₉+a₂₀=S₂₀-S₁₆=[20+

20×19

2

×(-

1

7

)]-[16+

16×15

2

×(-

1

7

)]=-6．
（3）∵在等差数列{a_n}中，a₁=13，且S₃=S₁₁，
∴3×13+

3×2

2

d=11×13+

11×10

2

d，
解得d=-2，
∴S_n=13n+

n(n-1)

2

×(-2)=14n-n²=-（n-7）²+49．
∴n=7时，S_n取最大值S₇=49．

点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．