Question

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，其前n项和为S_n，且a_n²=S_2n-1，数列{b_n}满足b₁=-

1

2

，2b_n+1=b_n-1．
（Ⅰ）求a_n，并证明数列{b_n+1}是等比数列；
（Ⅱ）若c_n=a_n（b_n+1），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用a_n²=S_2n-1，求出数列的前两项，通过等差数列求出通项公式，利用等比数列的定义证明{b_n+1}是等比数列．
（Ⅱ）利用等比数列求出通项公式，化简c_n=a_n（b_n+1），利用错位相减法求解数列的和即可．

解答： 解：（Ⅰ）由a_n²=S_2n-1
令n=1得a₁²=S₁=a₁解a₁=1
令n=2得a₂²=S₃=3a₂，得a₂=3
∵{a_n}为等差数列，∴a_n=2n-1  
证明：∵b_n+1≠0，

bn+1+1

bn+1

=

1 2 bn- 1 2 +1

bn+1

=

1 2 (bn+1)

bn+1

=

1

2

又b₁+1=

1

2

，故{b_n+1}是以

1

2

为首项公比为

1

2

的等比数列．
（Ⅱ）由（1）知，∵bn+1=(

1

2

)n，
∴cn=(2n-1)(

1

2

)n故Tn=(

1

2

)1+3×(

1

2

)2+5×(

1

2

)3+…+(2n-1)(

1

2

)n

1

2

Tn=(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+(2n-3)(

1

2

)n+(2n-1)(

1

2

)n+1
∴

1

2

Tn=(

1

2

)1+2[(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4+…+(

1

2

)n]-(2n-1)(

1

2

)n+1
=

3

2

-(

1

2

)n-1-

(2n-1)

2

(

1

2

)n
∴Tn=3-(2n+3)(

1

2

)n

点评：本题考查数列求和，错位相减法的应用，等比数列的判断，考查分析问题解决问题的能力．