Question

2．如图，在Rt△BEC中，∠EBC=30°，∠BEC=90°，CE=1，现在分别以BE，CE为边向Rt△BEC外作正△EBA和正△CED．
（Ⅰ）求线段AD的长；
（Ⅱ）比较∠ADC和∠ABC的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出BE，AE=BE=$\sqrt{3}$，DE=CE=1，∠AED=150°，利用余弦定理求线段AD的长；
（Ⅱ）比较∠ADC和∠ABC的大小，转化为比较∠ADE与∠EBC的大小．

解答 解：（Ⅰ）在Rt△BEC中，CE=1，∠EBC=30°，∴BE=$\sqrt{3}$，
在△ADE中，AE=BE=$\sqrt{3}$，DE=CE=1，∠AED=150°，
由余弦定理可得AD=$\sqrt{3+1-2×\sqrt{3}×1×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）}$=$\sqrt{7}$；
（Ⅱ）∵∠ADC=∠ADE+60°，∠ABC=∠EBC+60°，
∴问题转化为比较∠ADE与∠EBC的大小．
在△ADE中，由正弦定理可得$\frac{sin∠ADE}{AE}=\frac{sin∠AED}{AD}$，
∴sin∠ADE=$\frac{\frac{1}{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$＜$\frac{1}{2}$=sin30°，
∴∠ADE＜30°
∴∠ADC＜∠ABC．

点评 本题考查余弦定理的运用，考查正弦定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用正弦、余弦定理是关键．