Question

已知直线l过点P（1，2）为，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）当OP⊥l时，求直线l的方程；
（2）当△OAB面积最小时，求直线l的方程并求出面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据垂直直线的斜率关系算出直线l的斜率为-

1

2

，再由直线方程的点斜式列式，化简即得直线l的方程；
（2）设直线l方程为截距式：

x

a

+

y

b

=1(a＞0，b＞0)，将点P坐标代入并利用基本不等式，可得ab≥8，当且仅当a=2，b=4时等号成立．由此即可算出△OAB面积的最小值及相应的直线l的方程．

解答：解：（1）由已知得：k_OP=2，
∴直线l的斜率为kl=-

1

kop

=-

1

2

，…（2分）
由直线方程的点斜式，可得直线l的方程为y-2=-

1

2

(x-1)，
化简得直线l的方程为x+2y-5=0…（4分）
（2）设直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1(a＞0，b＞0)，
∵直线过P（1，2），∴

1

a

+

2

b

=1
∵1=

1

a

+

2

b

≥2

1 a • 2 b

=

8 ab

∴ab≥8，当且仅当a=2，b=4时等号成立
此时S△ABC=

1

2

ab≥4，即面积的最小值为4…（8分）
所求直线l的方程是

x

2

+

y

4

=1，即2x+y-4=0…（10分）

点评：本题给出直线经过定点，求使直线被坐标轴截得三角形面积最小时直线的方程．着重考查了直线的方程、基本不等式求最值等知识，属于基础题．