Question

【题目】本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.

已知数列满足.

（1）若，求的取值范围；

（2）若是公比为等比数列，，求的取值范围；

（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）的最大值为1999，此时公差为.

【解析】

（1）依题意：，又将已知代入求出x的范围；

（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出Sn分别代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围．

（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…ak的公差．

（1）依题意：，

∴；又

∴3≤x≤27，

综上可得：3≤x≤6

（2）由已知得，，，

∴，

当q＝1时，Sn＝n，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，成立．

当1＜q≤3时，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，

∴

不等式

∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0恒成立，

而对于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n＝1，

得q2﹣3q+2≤0，

解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，

∴qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，

∴1＜q≤2，

当时，

，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，

∴此不等式即，

3q﹣1＞0，q﹣3＜0，

3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，

qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）＞0

∴时，不等式恒成立，

∴q的取值范围为：．

（3）设a1，a2，…ak的公差为d．由，且a1＝1，

得

即

当n＝1时，d≤2；

当n＝2，3，…，k﹣1时，由，得d，

所以d，

所以1000＝k，即k2﹣2000k+1000≤0，

得k≤1999

所以k的最大值为1999，k＝1999时，a1，a2，…ak的公差为．