Question

已知函数y=a^2x+2a^x-1（a＞0且a≠1）在[-1，1]上的最大值是14．
（1）求a的值；
（2）求函数y=a x2-4的单调区间．

Answer 1

分析：（1）由题意令t=a^x，则原函数变成关于t的二次函数，求出t的范围，根据在区间上的单调性求出函数有最大值时对应的t值，进而求出a的值．
（2）由（1）知，y=a x2-4= 3x2-4，依据复合函数的单调性来判断，即可得到 y=3x2-4的单调区间．

解答：解：（1）令t=a^x，则y=t²+2t-1=（t+1）²-2，
当a＞1时，∵x∈[-1，1]，则t∈[

1

a

，a]，
∴函数在[

1

a

，a]上是增函数，
∴当t=a时，函数取到最大值14=a²+2a-1，
解得a=3或-5（舍），则a的值为3．
当0＜a＜1时，则t=a^x是减函数，
所以0＜a＜t＜a^-1
所以y的图象都在对称轴t=-1的右边，开口向上 并且递增
所以t=a^-1时有最大值
所以y=（a^-1+1）²-2=14，解得a=

1

3

，符合0＜a＜1
故a的值为3或

1

3

；
（2）由（1）知，a的值为3或

1

3

；
当a的值为3时，y=a x2-4= 3x2-4，
则函数 y=3x2-4分解成两部分：f（U）=3^U外层函数，U=x²-4是内层函数．
根据复合函数的单调性，可得函数y=3^U单调增函数，
则函数 y=3x2-4单调递增区间就是函数y=x²-4单调递增区间；
函数 y=3x2-4单调递减区间就是函数y=x²-4单调递减区间；
∴函数 y=3x2-4单调递增区间是（0，+∞），单调递减区间是（-∞，0）．
当a的值为

1

3

时，y=a x2-4=34-x2，
则函数y=34-x2分解成两部分：f（U）=3^U外层函数，U=4-x²是内层函数．
根据复合函数的单调性，可得函数y=3^U单调增函数，
则函数y=34-x2单调递增区间就是函数y=4-x²单调递增区间；
函数y=34-x2单调递减区间就是函数y=4-x²单调递减区间；
∴函数y=34-x2单调递增区间是（-∞，0），单调递减区间是（0，+∞）．

点评：本小题主要考查复合函数单调性的应用、二次函数单调性的应用、不等式的解法及函数的最值问题等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．