【题目】如图所示,在四棱台中,
底面
,四边形
为菱形,
,
.
(1)若为
中点,求证:
平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
试题(1)连接,可证
,又因为
底面
,可得
,即可得证.
(2)如图建立空间直角坐标系,求出
和平面
的一个法向量
的坐标,则直线
与平面
所成角的正弦值
.
试题解析:
(Ⅰ)∵四边形为菱形,
,连结
,则
为等边三角形,
又∵为
中点∴
,由
得∴
∵底面
,
底面
∴
,又∵
∴平面
(Ⅱ)∵四边形为菱形,
,
,
得,
,∴
又∵
底面
,
分别以,
,
为
轴、
轴、
轴,建立如图所示的空间直角坐标系
、
、
、
∴,
,
设平面的一个法向量
,
则有,令
,则
∴直线与平面
所成角
的正弦值
.
点晴:本题考查的空间的线面关系以及空间的角.第一问通过证明直线和平面
内的两条相交直线
垂直,证明
平面
;第二问中通过建立空间直角坐标系
,求得
和平面
的一个法向量
,结合得到结论.
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【题目】给出下列命题:
①命题“若,则
”的否命题为“若
,则
”;
②“”是“
”的必要不充分条件;
③命题“,使得
”的否定是:“
,均有
”;
④命题“若,则
”的逆否命题为真命题
其中所有正确命题的序号是________.
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【题目】在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明AB⊥平面VAD;
(Ⅱ)求面VAD与面VDB所成二面角的大小.
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【题目】如图,正方体的棱长为a,
分别是棱
、
的中点,过点
的平面分别与棱
、
交于点
,设
,
,给出以下四个命题:
(1)平面与平面
所成角的最大值为
;
(2)四边形的面积的最小值为
;
(3)四棱锥的体积为
;
(4)点到平面
的距离的最大值为
,
其中正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】如图,在四棱锥中,平面
平面
,且
,四边形
满足
,
为侧棱
上的任意一点.
(1)求证:平面平面
.
(2)是否存在点,使得直线
与平面
垂直?若存在,写出证明过程并求出线段
的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆的右焦点F与抛物线
焦点重合,且椭圆的离心率为
,过
轴正半轴一点
且斜率为
的直线
交椭圆于
两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在实数使以线段
为直径的圆经过点
,若存在,求出实数
的值;若不存在说明理由.
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【题目】如图,⊙O1与⊙O2交于P、Q两点,⊙A的弦以与⊙O2相切,⊙O2的弦PB与⊙O1相切,直线PQ与△PAB的外接圆⊙O交于另一点R.证明:PQ=QR.
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