Question

【题目】如图，正方体的棱长为a，分别是棱、的中点，过点的平面分别与棱、交于点，设，，给出以下四个命题：

（1）平面与平面所成角的最大值为；

（2）四边形的面积的最小值为；

（3）四棱锥的体积为；

（4）点到平面的距离的最大值为，

其中正确的个数为（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

由两平面所成角的余弦公式即面积射影公式，计算可得所求最大值，可判断（1）；

由四边形为菱形，计算面积，考虑的最小值，可判断（2）；

由棱锥的等体积法，计算可判断（3）；

由等体积法和函数的性质可判断（4）；

对于（1），由面面平行的性质定理可得，可得四边形为平行四边形，又直角梯形和直角梯形全等，可得,即有四边形为菱形，且，由平面在底面上的射影为四边形，

由面积射影公式可得

由，可得，可得平面与平面所成角的最大值不为，故（1）错；

对于（2），由，可得菱形的面积的最小值为

故（2）正确；

对于（3），因为四棱锥的体积为

，故（3）正确；

对于（4）

设到平面的距离为，可得

，

可得 ，（其中），当即时，

取得最大值，故（4）正确；

故选：C