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    对于函数y=f(x)，如果存在一个正的常数a，使得定义域D内的任意两个不等的值x1、x2都有|f(x1)-f(x2)|≤a|x1-x2|成立，则称函数y=f(x)为D上的利普希茨I类函数.已知函数f(x)=x2-1(x≥1)的图象是C1，函数y=g(x)的图象C2与C1关于直线y=x对称.

    (1)求函数y=g(x)的解析式及定义域M；

    (2)证明：函数y=g(x)为M上的利普希茨I类函数；

    (3)若A、B为C2上两点，求证：直线AB与直线y=x相交.

    答案：(1)解：∵函数y=g(x)的图象C2与C1关于直线y=x对称，∴y=f(x)与y=g(x)互为反函数.∴y=g(x)的解析式为g(x)=，定义域M为[0，+∞).                       

    (2)证明：对任意的x1,x2∈M，且x1≠x2,x1≥0,x2≥0,

    则|g(x1)-g(x2)|=|x1-x2|，

    所以函数y=g(x)为M上的利普希茨I类函数.

    (3)证明：设A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线C2上不同两点，x1,x2∈M，且x1≠x2，由(2)知，

    |kAB|=||=||＜＜1，所以直线AB的斜率kAB≠1，而直线y=x的斜率为1，∴它们相交.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

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    (1)求函数y=g(x)的解析式及定义域M；

    (2)证明：函数y=g(x)为M上的利普希茨I类函数；

    (3)若A、B为C2上两点，求证：直线AB与直线y=x相交.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于函数y=f(x)，若x1+x2=1, 则f(x1)+f(x2)=1,记数列f(),f(),

    ……,f()……,(n≥2，n∈)的前n项的和为Sn ；

       (1)求Sn;

       (2)若a=,a=   (n≥2，n∈),

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    对于函数y=f(x)，若x1+x2=1, 则f(x1)+f(x2)=1,记数列f(),f(),

    ……,f()……,(n≥2，n∈)的前n项的和为Sn ；

       (1)求Sn;

       (2)若a=,a=   (n≥2，n∈),

     数列{an}的前n项和为Tn,  Tn≤λ(Sn+1+1)对一切n∈都成立，试求λ的最小值.

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    对于函数y=f(x)，若x1+x2=1, 则f(x1)+f(x2)=1,记数列f(),f(),

    ……,f()……,(n≥2，n∈)的前n项的和为Sn ；

       (1)求Sn;

      

        (2)若a=,a=   (n≥2，n∈),

    数列{an}的前n项和为Tn,  Tn≤λ(Sn+1+1)对一切n∈都成立，试求λ的最小值.

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年江苏省高三上学期期中考试数学 题型：解答题

    (本题满分16分)设函数y=f(x)对任意实数x，都有f(x)=2f(x+1)，当x∈[0,1]时，f(x)=x2(1-x).

    (Ⅰ)已知n∈N+，当x∈[n,n+1]时，求y=f(x)的解析式；

    (Ⅱ)求证：对于任意的n∈N+，当x∈[n,n+1]时，都有|f(x)|≤；

    (Ⅲ)对于函数y=f(x)(x∈[0,+∞，若在它的图象上存在点P，使经过点P的切线与直线x+y=1平行，那么这样点有多少个？并说明理由

     

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