【题目】如图,正方形所在平面与四边形所在平面互相重直,是等腰直角三角形,,,.
(1)求证:平面;
(2)设线段、的中点分别为、,求与所成角的正弦值;
(3)求二面角的平面角的正切值.
【答案】(1)见解析;(2);(3).
【解析】
(1)证明,,然后证明平面;
(2)取的中点,连接、,证明,说明与所成角为或其补角,在,求解的正弦值即可;
(3)说明为二面角的平面角.设,则,在中与在中,求解二面角的平面角的正切值.
(1)因为四边形为矩形,则,
因为平面平面,平面平面,平面,
平面,
平面,.
因为为等腰直角三角形,,所以,
又因为,,即,
,因此,平面;
(2)取的中点,连接、,
四边形为正方形,则且,
、分别为、的中点,且,
为的中点,且,且,
则四边形为平行四边形,,
所以与所成的角为或其补角,
由(1)知,平面,平面,,
设,则,,,
在中,.
因此,与所成角的正弦值为;
(3),平面平面,平面平面,平面,平面.
作,交的延长线于,则.从而,平面.
作于,连接,
平面,平面,,
,,平面,
平面,,所以,为二面角的平面角.
,,,,
设,则,,,
在中,,,
在中,.
因此,二面角的平面角的正切值为.
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【题目】从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本,分别统计出这些试卷总分,由总分得到如下的频率分别直方图.
(1)求这100份数学试卷成绩的中位数;
(2)从总分在和的试卷中随机抽取2份试卷,求抽取的2份试卷中至少有一份总分少于65分的概率.
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【题目】某高三理科班共有60名同学参加某次考试,从中随机挑选出5名同学,他们的数学成绩与物理成绩如下表:
数据表明与之间有较强的线性关系.
(1)求关于的线性回归方程;
(2)该班一名同学的数学成绩为110分,利用(1)中的回归方程,估计该同学的物理成绩;
(3)本次考试中,规定数学成绩达到125分为优秀,物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为和,且除去抽走的5名同学外,剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人.能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关?
参考数据:回归直线的系数,.
,.
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【题目】用适当的方法表示下列集合:
(1)一年中有31天的月份的全体;
(2)大于小于12.8的整数的全体;
(3)梯形的全体构成的集合;
(4)所有能被3整除的数的集合;
(5)方程的解组成的集合;
(6)不等式的解集.
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【题目】某单位计划建造一间背面靠墙的小屋,其地面面积为12m2,墙面的高度为3m,经测算,屋顶的造价为5800元,房屋正面每平方米的造价为1200元,房屋侧面每平方米的造价为800元,设房屋正面地面长方形的边长为m,房屋背面和地面的费用不计.
(1)用含的表达式表示出房屋的总造价;
(2)当为多少时,总造价最低?最低造价是多少?
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【题目】大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费(单位:千元)对年销售量(单位:)和年利润(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
46.6 | 573 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 215083.4 | 31280 |
表中,.
根据散点图判断,与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
根据的判断结果及表中数据,建立关于的回归方程;
已知这种产品的年利润与、的关系为.根据的结果回答下列问题:
年宣传费时,年销售量及年利润的预报值是多少?
年宣传费为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,.
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【题目】如图,半圆的直径,为圆心,,为半圆上的点.
(Ⅰ)请你为点确定位置,使的周长最大,并说明理由;
(Ⅱ)已知,设,当为何值时,
(ⅰ)四边形的周长最大,最大值是多少?
(ⅱ)四边形的面积最大,最大值是多少?
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