Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD 中，△PAD 为等边三角形，底面ABCD为等腰梯形，满足AB∥CD，AD＝DCAB＝2，且平面PAD⊥平面ABCD．

（1）证明：BD⊥平面PAD

（2）求点C到平面PBD的距离．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析 (2)．

【解析】

（1）在梯形ABCD中，取AB中点E，连结DE，推导出点D在以AB为直径的圆上，由此能证明BD⊥平面PAD．

（2）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，设C到平面PBD的距离为h，由VP﹣BCD＝VC﹣PBD，能求出点C到平面PBD的距离．

（1）在梯形ABCD中，取AB中点E，连结DE，则DE∥BC，且DE＝BC，

故DE，即点D在以AB为直径的圆上，

∴BD⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

BD平面ABCD，∴BD⊥平面PAD．

（2）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴PO⊥平面ABCD，

由（1）知△ABD和△PBD都是直角三角形，

∴BD2，

∴2，，

解得PO，

设C到平面PBD的距离为h，

由VP﹣BCD＝VC﹣PBD，得，

解得h，

∴点C到平面PBD的距离为．