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    【题目】某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天该海鲜的需求量（，单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为元.

    （1）求商店日利润关于需求量的函数表达式；

    （2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.

    ①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；

    ②估计日利润在区间内的概率.

    【答案】(1) (2) ①698.8元 ②0.54

    【解析】

    （1）根据不同的需求量，整理出函数解析式；（2）①利用频率分布直方图估计平均数的方法，结合利润函数得到平均利润；②根据利润区间，换算出需求量所在区间，从而找到对应的概率.

    （1）商店的日利润关于需求量的函数表达式为：

    化简得：

    （2）①由频率分布直方图得：

    海鲜需求量在区间的频率是；

    海鲜需求量在区间的频率是；

    海鲜需求量在区间的频率是；

    海鲜需求量在区间的频率是；

    海鲜需求量在区间的频率是；

    这50天商店销售该海鲜日利润的平均数为：

    （元）

    ②由于时，

    显然在区间上单调递增，

    ，得；

    ，得；

    日利润在区间内的概率即求海鲜需求量在区间的频率：

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    【题目】已知两个不共线的向量满足， ， .

    （1）若与垂直，求的值；

    （2）当时，若存在两个不同的使得成立，求正数的取值范围.

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    【题目】设椭圆E的方程为 (a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足BM＝2MA，直线OM的斜率为.

    (1)求E的离心率e；

    (2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.

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    【题目】对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.

    分组

    频数

    频率

    [10,15)

    10

    0.25

    [15,20)

    24

    n

    [20,25)

    m

    p

    [25,30]

    2

    0.05

    合计

    M

    1

    (1)求出表中M，p及图中a的值；

    (2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；

    (3)估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数．

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    【题目】如图，三棱柱的所有棱长均为2，平面平面， ， 为的中点.

    (1)证明： ；

    (2)若是棱的中点，求二面角的余弦值.

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    【题目】如图，曲线由上半椭圆： （， ）和部分抛物线： （）连接而成， 与的公共点为， ，其中的离心率为．

    （1）求， 的值；

    （2）过点的直线与， 分别交于点， （均异于点， ），是否存在直线，使得以为直径的圆恰好过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

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    【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，且椭圆过点，离心率；点在椭圆上，延长与椭圆交于点，点是中点.

    （1）求椭圆C的方程；

    （2）若是坐标原点，记与的面积之和为，求的最大值.

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    【题目】已知函数．

    Ⅰ若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；

    Ⅱ若对于都有成立，试求a的取值范围；

    Ⅲ记当时，函数在区间上有两个零点，求实数b的取值范围．

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    【题目】已知函数（为自然对数的底, 为常数）.

    （Ⅰ）讨论函数的单调性;

    （Ⅱ）对于函数和,若存在常数,对于任意,不等式都成立,则称直线是函数的分界线,设,问函数与函数是否存在“分界线”？若存在,求出常数;若不存在,说明理由.

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