【题目】已知函数(
为自然对数的底,
为常数).
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)对于函数和
,若存在常数
,对于任意
,不等式
都成立,则称直线
是函数
的分界线,设
,问函数
与函数
是否存在“分界线”?若存在,求出常数
;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)当时,得
在
上单调递增,再分
和
两种情况讨论,即可求解函数
的单调性;
(Ⅱ)把存在恒成立,转化为
恒成立,进而只需判断
是否恒成立,设出新函数
,利用导数得到函数
单调性和最值,即可求解实数
的值.
试题解析:
(Ⅰ)当时,
,则
在
上单调递增
当时,
,令
若,则
随
的变化情况如下表:
则在
单调递减,在
单调递增
若,则
随
的变化情况如下表:
则在
单调递增,在
单调递减
综上,当时,
在R上单调递增;当
时,
在
单调递减,在
单调递增;当
时,
在
单调递增,在
单调递减
(Ⅱ)若存在,则恒成立,令
,则
,则
恒成立即
恒成立,由
得
现在只需判断是否恒成立
设,则
,令
且当时,
;当
时,
则在
处取得最小值,且
则恒成立,即证
恒成立
故存在分界线,且,
,
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【题目】某商店销售某海鲜,统计了春节前后50天该海鲜的需求量(
,单位:公斤),其频率分布直方图如图所示,该海鲜每天进货1次,商店每销售1公斤可获利50元;若供大于求,剩余的削价处理,每处理1公斤亏损10元;若供不应求,可从其它商店调拨,销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤,商店的日利润为
元.
(1)求商店日利润关于需求量
的函数表达式;
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.
①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数;
②估计日利润在区间内的概率.
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【题目】将这9个正整数分别写在三张卡片上,要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上,现在第一张卡片上已经写有
和
,第二张卡片上写有
,第三张卡片上写有
,则
应该写在第__________张卡片上;第三张卡片上的所有书组成的集合是__________.
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【题目】如图,D是AC的中点,四边形BDEF是菱形,平面平面ABC,
,
,
.
若点M是线段BF的中点,证明:
平面AMC;
求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值.
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【题目】已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是
,接下来的两项是
,
,再接下来的三项是
,
,
,依此类推那么该数列的前50项和为
A. 1044 B. 1024 C. 1045 D. 1025
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【题目】某校为了解毕业班学业水平考试学生的数学考试情况,抽取了该校100名学生的数学成绩,将所有数据整理后,画出了样频率分布直方图(所图所示),若第1组第9组的频率各为x.
(1)求x的值,并估计这次学业水平考试数学成绩的众数;
(2)若全校有1500名学生参加了此次考试,估计成绩在[80,100)分内的人数.
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【题目】将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,下列结论正确的是( )
A.AC⊥BDB.△ACD是等边三角形
C.AB与平面BCD成角D.AB与CD所成的角是60°
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