Question

【题目】如图，三棱柱的所有棱长均为2，平面平面， ， 为的中点.

(1)证明： ；

(2)若是棱的中点，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2) 所以二面角的余弦值为．

【解析】试题分析：（1）证线线垂直，由平面平面得平面，再由底面图形得线线垂直．(2)建系求面的法向量，得法向量的夹角．

解：

(1)证明：取中点，设与交于点，连接， ，依题意得，

因为平面平面，平面平面， ，

所以平面，即平面，所以，

又因为四边形为菱形，所以，又，所以平面，

而平面，所以.

(2)解：由(1)结合已知得： ， ， ，

以为原点，如图所示建立空间直角坐标系，因为侧面是边长为2的菱形，且，

所以， ， ， ， ，

所以， ， ，

设平面的法向量为，

则由得，令，可取，

而平面的一个法向量，由图可知二面角为锐角，

因为.

所以二面角的余弦值为.