Question

设函数y=f（x）是定义域在R，并且满足f（x+y）=f（x）+f（y），f(

1

3

)=1，且当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；                
（2）判断函数的奇偶性；
（3）试判断函数的单调性，并求解不等式f（x）+f（2+x）＜2．

Answer 1

分析：（1）赋值令x=y=0，则可求f（0）的值；
（2）令y=-x，结合f（0）的值，可得结论；
（3）利用单调性的定义，结合足f（x+y）=f（x）+f（y），可得函数的单调性，进而将抽象不等式转化为具体不等式，即可求解．

解答：解：（1）令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0
（2）令y=-x，得 f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），故函数f（x）是R上的奇函数
（3）f（x）是R上的增函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0
∴f（x₁）＜f（x₂）
故f（x）是R上的增函数
∵f(

1

3

)=1，∴f(

2

3

)=f(

1

3

+

1

3

)=f(

1

3

)+f(

1

3

)=2
∴f(x)+f(2+x)=f[x+(2+x)]=f(2x+2)＜f(

2

3

)，
又由y=f（x）是定义在R上的增函数，得2x+2＜

2

3

解之得x＜-

2

3

，故x∈(-∞，-

2

3

)．

点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解不等式，考查赋值法的运用，确定函数的单调性是关键．