Question

13．直线y=kx+3与圆（x-2）²+（y-3）²=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（　　）

• A． $[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$
• B． $（-∞，-\sqrt{3}]∪[\sqrt{3}，+∞）$
• C． $[-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}]$
• D． $[-\frac{2}{3}，0]$

Answer 1

分析 由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理表示出弦长|MN|，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．

解答 解：由圆的方程得：圆心（2，3），半径r=2，
∵圆心到直线y=kx+3的距离d=$\frac{|2k+3-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$．
∵|MN|≥2，∴|MN|²=4（r²-d²）≥4，d²≤3；
即k²≤3，则k的取值范围是[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．
故选：A．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．属于基础题．