Question

【题目】已知圆A：（x+1）2+y2=8，动圆M经过点B（1，0），且与圆A相切，O为坐标原点．
（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）直线l与曲线C相切于点M，且l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，若 =λ ，且λ∈[ ，2]，求△OPQ面积S的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设动圆M的半径为r，依题意，|MA|=2 ﹣r，|MB|=r，

∴|MA|+|MB|=2 ＞|AB|=2，

∴M点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，即2a=2 ，a= ，2c=2，c=1，

则b2=a2﹣c2=1，

∴椭圆C的标准方程为： +y2=1．

（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l：y=kx+b，

，化简得：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，

∵l与椭圆C相切于点M，设M（x0，y0），

∴△=8（1+2k2﹣b2）=0，即b2=1+2k2，

且2x0=﹣ =﹣ ，解得：x0=﹣ ，y0=﹣ +b= ，

∴点M的坐标为（﹣ ， ），

又l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，

∴点P的坐标为（﹣ ，0），点Q的坐标为（0，b），

∴△OPQ的面积S= |OP||OQ|= ，又b2=1+2k2，

∴S= =|k|+ ，

∴ =（ ﹣ ， ）， =（ ，b﹣ ），

由 =λ 得， =λ（b﹣ ），化简得λ= = ，

由λ∈[ ，2]，得k2∈[ ，1]，|k|∈[ ，1]，

又S=|k|+ ，且函数y=x+ 在[ ， ]上单调递减，在[ ，1]上单调递增，

∴当|k|= 时，S取得最小值 ，当|k|= 或1时，S取得最大值 ，

∴△OPQ面积S的取值范围是[ ， ]

【解析】（Ⅰ）根据题意求得|MA|与|MB|的关系，结合椭圆的定义可知动圆圆心的轨迹为椭圆，并求得其轨迹方程；（Ⅱ）设出直线l的方程，然后表示出点M，P，Q的坐标，从而表示出三角形OPQ的面积，再结合求得直线斜率k的取值范围，从而求得△OPQ面积S的取值范围.