Question

9．如图，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC′交斜边于点E，CC′的延长线交BB′于点F．
（1）证明：△ACE∽△FBE；
（2）设∠ABC=α，∠CAC′=β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）欲证△ACE∽△FBE，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠AEC=∠FEB，此时，再证∠AC′C=∠ABB′即可．
（2）欲证△ACE≌△FBE，由（1）知△ACE∽△FBE，只需证明CE=BE，由已知可证∠ABC=∠BCE=α，即证β=2α时，△ACE≌△FBE．

解答 （1）证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，
∴∠CAC′=∠BAB′
∴∠ACC′=∠ABB′
又∠AEC=∠FEB，
∴△ACE∽△FBE
（2）解：当β=2α时，△ACE≌△FBE．
在△ACC′中，∵AC=AC′，∴$∠ACC'=\frac{180°-∠CAC'}{2}=\frac{180°-β}{2}=90°-α$
在Rt△ABC中，∠ACC′+∠BCE=90°，即90°-α+∠BCE=90°，
∴∠BCE=α∵∠ABC=α，∴∠ABC=∠BCE，∴CE=BE
由（1）知：△ACE∽△FBE，∴△ACE≌△FBE．

点评 本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．