Question

4．函数f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…-$\frac{{x}^{2014}}{2014}$+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$=cos2x在区间[-3，3]上的零点的个数为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 由题意和函数零点的定义得f（x）=0，即cos2x=0或1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…-$\frac{{x}^{2014}}{2014}$+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$=0，由余弦函数的性质求出cos2x=0的根，令g（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…-$\frac{{x}^{2014}}{2014}$+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$，求出g′（x）和符号，判断出g（x）的单调性和零点的个数，即可得到答案．

解答 解：由题意得，f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…-$\frac{{x}^{2014}}{2014}$+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$=cos2x=0，
①当cos2x=0时，由x∈[-3，3]得2x∈[-6，6]，
解得x=$±\frac{π}{4}$或$±\frac{3π}{4}$；
②当1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…-$\frac{{x}^{2014}}{2014}$+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$=0时，
设g（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…-$\frac{{x}^{2014}}{2014}$+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$，
则g′（x）=1-x+x²-x³+…-x²⁰¹³+x²⁰¹⁴=$\left\{\begin{array}{l}{2015，x=-1}\\{\frac{1+{x}^{2015}}{1+x}，x≠-1}\end{array}\right.$，
∴g′（x）＞0，则g（x）在[-3，3]上单调递增，
∵g（-3）＜0，g（3）＞0，
∴g（x）在[-3，3]上有且仅有1个零点，
显然g（$±\frac{π}{4}$）≠0、g（$±\frac{3π}{4}$）≠0，
所以f（x）共有5个零点，
故选：C．

点评 本题考查函数的零点问题，余弦函数的性质，函数零点存在性定理，以及导数与函数的单调性关系，属于中档题．