Question

9．已知M（x，y）在双曲线方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=2secθ}\\{y=tanθ}\end{array}\right.$上，求M到N（-3，0）的距离的最小值．

Answer 1

分析 把点M的坐标代入距离公式|MN|中，利用三角函数求出|MN|²的最小值即可．

解答 解：∵M在双曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=2secθ}\\{y=tanθ}\end{array}\right.$上，
∴M到N（-3，0）的距离为|MN|，
则|MN|²=（2secθ+3）²+tan²θ
=$\frac{{（2+3cosθ）}^{2}}{{cos}^{2}θ}$+$\frac{{sin}^{2}θ}{{cos}^{2}θ}$
=$\frac{{8cos}^{2}θ+12cosθ+5}{{cos}^{2}θ}$
=8+$\frac{12}{cosθ}$+$\frac{5}{{cos}^{2}θ}$；
设$\frac{1}{cosθ}$=t，则t≥1，或t≤-1；
∴f（t）=5t²+12t+8=5${（t+\frac{6}{5}）}^{2}$+$\frac{4}{5}$，
且当t=-$\frac{6}{5}$时，f（t）取得最小值$\frac{4}{5}$；
∴|MN|的最小值为$\sqrt{\frac{4}{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了参数方程的应用问题，也考查了三角函数的计算问题，是综合性题目．