Question

16．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到数据如下：

零件的个数x（个）	2	3	4	5
加工的时间y（小时）	2.5	3	4	4.5

（Ⅰ）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（Ⅲ）试预测加工10个零件需要的时间．
参考公式：$\left\{\begin{array}{l}{\widehat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}}\\{\widehat{a}=\overline{y}-\widehat{b}\overline{x}}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用描点法描出数据对应的四组点，进而作图，可得数据的散点图；
（Ⅱ）利用公式计算$\overline{x}$，$\overline{y}$及系数a，b，可得回归方程；
（Ⅲ）把x=10代入回归方程可得y值，即为预测加工10个零件需要的时间．

解答 解：（Ⅰ）散点图如图所示：（3分）

（Ⅱ）由题中表格数据得$\overline{x}$=3.5，$\overline{y}$=3.5，
$\sum _{i=1}^{4}$$（{x}_{i}-\overline{x}）\widehat{（{y}_{i}-\overline{y}）}$=3.5，
$\sum _{i=1}^{4}$${（{x}_{i}-\overline{x}）}^{2}$=5．
∴$\widehat{b}=\frac{\sum _{i=1}^{4}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum _{i=1}^{4}{（{x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}$=0.7，$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat{b}\overline{x}$=1.05，
∴线性回归方程为$\widehat{y}$=0.7x+1.05
（Ⅲ）当x=10时，$\widehat{y}$=0.7x+1.05=8.05，
所以预测加工10个零件需要8.05小时．（8分）

点评 本题主要考查了线性回归分析的方法，包括散点图，用最小二乘法求参数，以及用回归方程进行预测等知识，考查了考生数据处理和运算能力．