Question

8．已知x，y，z∈R，$\overrightarrow{a}$=（x，2，1），$\overrightarrow{b}$=（1，y，z-3），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则2^x+4^y+2^z的最小值是（　　）

• A． 6
• B． 6$\sqrt{2}$
• C． 8
• D． 8$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 首先由向量垂直得到关于x，y，z的等式，得到定值，利用基本不等式求最小值．

解答 解：由已知x，y，z∈R，$\overrightarrow{a}$=（x，2，1），$\overrightarrow{b}$=（1，y，z-3），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=x+2y+z-3=0即x+2y+z=3，
所以2^x+4^y+2^z=2^x+2^2y+2^z≥3$\root{3}{{2}^{x}•{2}^{2y}•{2}^{z}}$=3$\root{3}{{2}^{x+2y+z}}$=3$\root{3}{{2}^{3}}$=6；
当且仅当x=2y=z等号成立；
故选A．

点评 本题考查了空间向量数量积的坐标运算以及基本不等式求最值；注意基本不等式成立的条件．