Question

3．在平面直角坐标系中xOy中，直线x+y+3$\sqrt{2}$+1=0与圆C相切，圆心C的坐标为（1，-2）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+1圆C没有公共点，求k的取值范围．
（Ⅲ）设直线y=x+m与圆C交于M、N两点，且OM⊥ON，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）假设圆的方程，利用以C（1，-2）为圆心的圆与直线x+y+3$\sqrt{2}$+1=0相切，即可求得圆C的方程；
（Ⅱ）直线y=kx+1圆C没有公共点，转化为圆心到直线的距离大于半径，得到关系式求出k的范围．
（Ⅲ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立直线与圆的方程，通过韦达定理以及判别式，通过OM⊥ON，求出m的值即可．

解答 解：（Ⅰ）设圆的方程是（x-1）²+（y+2）²=r²，
依题意，∵C（1，-2）为圆心的圆与直线x+y+3$\sqrt{2}$+1=0相切．
∴所求圆的半径，r=$\frac{|1-2+3\sqrt{2}+1|}{\sqrt{2}}$=3，
∴所求的圆方程是（x-1）²+（y+2）²=9．…（4分）
（Ⅱ）圆心C（1，-2）到直线y=kx+1的距离d=$\frac{|k-（-2）+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\frac{|k+3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，∵在y=kx+1与圆没有公共点，
∴d＞r即$\frac{|k+3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}＞3$，解得0＜k＜$\frac{3}{4}$．
k的取值范围：（0，$\frac{3}{4}$）．
（Ⅲ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\（{x-1）}^{2}+（y+2）^{2}=9\end{array}\right.$，
消去y，得到方程2x²+2（m+1）x+m²+4m-4=0，…（6分）
由已知可得，判别式△=4（m+1）²-4×2（m²+4m-4）＞0，化简得m²+6m-9＜0，…（7分）
x₁+x₂=-m-1，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}+4m-4}{2}$①…（8分）
由于OM⊥ON，可得x₁x₂+y₁y₂=0…（9分）
又y₁=-x₁-m，y₂=-x₂-m所以2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0，②…（10分）
由①，②得m=-4或m=1，满足△＞0，
故m=1或m=-4．…（12分）

点评 本题重点考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查圆中弦长的计算，合理运用圆的性质是关键．注意韦达定理及整体思想的运用，属中档题．