Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ）与向量$\overrightarrow{b}$=（1，1）的夹角为$\frac{π}{6}$，则sin2θ=（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根据向量数量积的关系进行化简得到cosθ+sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，然后平方即可求sin2θ的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ）与向量$\overrightarrow{b}$=（1，1），
∴|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（cosθ，sinθ）•（1，1）=cosθ+sinθ，
∵向量$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ）与向量$\overrightarrow{b}$=（1，1）的夹角为$\frac{π}{6}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$1×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即cosθ+sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
平方得1+2sinθcosθ=$\frac{6}{4}$，
即sin2θ=$\frac{1}{2}$，
故选：C

点评 本题主要考查三角函数的化简和求值以及向量数量积公式的应用，考查学生的运算能力．