Question

（2013•东城区模拟）已知函数f（x）=Asin（ω+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象的一部分如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）+2cos（

π

4

x+

π

4

）（x∈[-6，-

2

3

]）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用函数的图象求出A，以及函数的周期，求出ω，利用f（1）=2，结合φ的范围求出φ的值，即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）化简函数y=f（x）+2cos（

π

4

x+

π

4

）的表达式，通过x∈[-6，-

2

3

]，求出相位的范围，利用余弦函数的值域求出函数的最大值和最小值．

解答：（共13分）
解：（Ⅰ）由图可知：A=2，-------------------------------（1分）
最小正周期T=

2π

ω

=8，所以ω=

π

4

．----------------------（2分）
f（1）=2，即sin（

π

4

+φ）=1，又|φ|＜

π

2

，所以φ=

π

4

．--------（5分）
所以f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）．---------------------------------（6分）
（Ⅱ）函数y=f（x）+2cos（

π

4

x+

π

4

）=2sin（

π

4

x+

π

4

）+2cos（

π

4

x+

π

4

）=2

2

cos

π

4

x．------------（9分）
由x∈[-6，-

2

3

]得

π

4

x∈[-

3π

2

，-

π

6

]，-----------------------（11分）
所以，当

π

4

x=-π，即x=-4时，y取最小值-2

2

；--------（12分）
当

π

4

x=-

π

6

，即x=-

2

3

时，y取最大值

6

．----------------（13分）

点评：本题考查三角函数的解析式的求法，函数的值域的应用，考查三角函数的图象与性质．