Question

【题目】已知函数f（x）=a﹣ ．
（1）若f（x）为奇函数，求a的值．
（2）证明：不论a为何值f（x）在R上都单调递增．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函数，

∴f（0）=0，且f（﹣x）=﹣f（x）

∴f（0）= ．

∴

（2）证明：∵f（x）的定义域为R，

∴任取x1x2∈R且x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=

=

= ．

∵y=2x在R是单调递增且x1＜x2，

∴ ，

∴ ， ， ，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

即f（x1）＜f（x2）

∴不论a为何值时f（x）在R上单调递增

【解析】本题（1）利用函数的奇偶性定义，得到解析满足的相应关系式，等价化简后，利用恒成立特征，求出a的值；（2）利用函数单调性，证明原函数的单调性，得到本题结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数单调性的判断方法和函数的奇偶性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．