精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若(a2-1)3+2012(a2-1)=1,(a2011-1)3+2012(a2011-1)=-1,则下列四个命题中真命题的序号为
②③
②③
.①S2011=2011; ②S2012=2012; ③a2011<a2;   ④S2011<S2
分析:根据等式,构造函数,求导函数,可知函数是单调递增的,再利用函数的单调性即等差数列的求和公式,即可得到结论.
解答:解:根据(a2-1)3+2012(a2-1)=1,(a2011-1)3+2012(a2011-1)=-1,
构造函数f(x)=x3+2012x,由于函数f(x)=x3+2012x是奇函数,由条件有f(a2-1)=1,f(a2011-1)=-1,
求导函数可得:f′(x)=3x2+1>0,所以函数f(x)=x3+x是单调递增的,
而f(1)=2>1=f(a2-1),即a2-1<1,解得a2<2
∵f(a2-1)=1,f(a2011-1)=-1,
∴a2-1>a2011-1,a2-1=-(a2011-1)
,∴a2>0>a2011,a2+a2011=2,
∴S2012=
a1+a2012
2
×2012
=2012;
又S2011=S2012-a2012=2012-(2-a2+d)=2010+a1>a1+a2=S2
综上知,S2012=2012; a2011<a2; 
故真命题为:②③
故答案为:②③
点评:本题考查函数与方程的思想,综合考查函数的奇偶性、单调性、等差数列的通项公式、等差数列性质、等差数列求和公式以及函数与方程的思想,转化与化归思想,属于难题
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知等差数列{an},公差d不为零,a1=1,且a2,a5,a14成等比数列;
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足bn=an3n-1,求数列{bn}的前n项和Sn

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知等差数列{an}中:a3+a5+a7=9,则a5=
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知等差数列{an}满足:a5=11,a2+a6=18.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=an+q an(q>0),求数列{bn}的前n项和Sn

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10
(1)求数列{an}的通项公式;     
(2)求数列{|an|}的前n项和;
(3)求数列{
an2n-1
}的前n项和.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知等差数列{an}中,a4a6=-4,a2+a8=0,n∈N*
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若{an}为递增数列,请根据如图的程序框图,求输出框中S的值(要求写出解答过程).

查看答案和解析>>

同步练习册答案