Question

过直线x+y-2

2

=0上点P作圆x²+y²=1的两条切线，切点为A，B若△PAB为等边三角形，则点P的坐标是

（

2

，

2

）

．

Answer 1

分析：根据题意画出相应的图形，设P的坐标为（a，b），由PA与PB为圆的两条切线，根据切线的性质得到OA与AP垂直，OB与BP垂直，再由切线长定理得到PO为角平分线，根据两切线的夹角为60°，求出∠APO和∠BPO都为30°，在直角三角形APO中，由半径AO的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OP的长，由P和O的坐标，利用两点间的距离公式列出关于a与b的方程，记作①，再由P在直线x+y-2

2

=0上，将P的坐标代入得到关于a与b的另一个方程，记作②，联立①②即可求出a与b的值，进而确定出P的坐标．

解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
直线PA和PB为过点P的两条切线，且∠APB=60°，
设P的坐标为（a，b），连接OP，OA，OB，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，PO平分∠APB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=30°，
又圆x²+y²=1，即圆心坐标为（0，0），半径r=1，
∴OA=OB=1，
∴OP=2AO=2BO=2，∴

a2+b2

=2，即a²+b²=4①，
又P在直线x+y-2

2

=0上，∴a+b-2

2

=0，即a+b=2

2

②，
联立①②解得：a=b=

2

，
则P的坐标为（

2

，

2

）．
故答案为：（

2

，

2

）

点评：此题考查了圆的切线方程，涉及的知识有：切线的性质，切线长定理，含30°直角三角形的性质，以及两点间的距离公式，利用了数形结合的思想，根据题意画出相应的图形是解本题的关键．