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已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,一个顶点为B(0,-1),且其右焦点到直线x-y+2
2
=0
的距离为3.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在斜率为k(k≠0),且过定点Q(0,
3
2
)
的直线l,使l与椭圆交于两个不同的点M、N,且|BM|=|BN|?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
分析:(1)设椭圆的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1,(a>b>0)
,由已知得b=1.设右焦点为(c,0),由题意得
c+2
2
2
=3
,由此能求出椭圆的方程.
(2)直线l的方程y=kx+
3
2
,代入椭圆方程,得(1+3k2)x2+9kx+
15
4
=0.由△=81k2-15(1+3k2)>0得k2
5
12
,设点M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=
-9k
1+3k2
,设M、N的中点为P,则点P的坐标为(
-9k
2+6k2
3
2+6k2
)
.由此入手能够导出直线l的方程.
解答:解:(1)设椭圆的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1,(a>b>0)
,由已知得b=1.
设右焦点为(c,0),由题意得
c+2
2
2
=3
,∴c=
2

∴a2=b2+c2=3.
∴椭圆的方程为
x2
3
+y2=1

(2)直线l的方程y=kx+
3
2
,代入椭圆方程,得
(1+3k2)x2+9kx+
15
4
=0.
由△=81k2-15(1+3k2)>0得k2
5
12

设点M(x1,y1),N(x2,y2),
x1+x2=
-9k
1+3k2

设M、N的中点为P,则点P的坐标为(
-9k
2+6k2
3
2+6k2
)

∵|BM|=|BN|,∴点B在线段MN的中垂线上.
kBP=-
1
k
=
3
2+6k2
+1
-9k
2+6k2
,化简,得k2=
2
3

2
3
5
12
,∴k=±
6
3

所以,存在直线l满足题意,直线l的方程为
6
3
x-y+
3
2
=0
6
3
x+y-
3
2
=0
点评:本题考查直线和圆锥曲线的位置关系和综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件.
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2
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2
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