Question

如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2．
（Ⅰ）求证：平面BCD⊥平面ABC
（Ⅱ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅲ）求四面体B-CDE的体积．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通过面ABC⊥面ACDE，证明DC⊥面ABC，然后利用直线与平面垂直证明平面BCD⊥平面ABC．
（Ⅱ）取BD的中点P，连接EP、FP，证明EAPF，推出AF∥EP，然后利用直线与平面平行的判定定理证明AF∥面BDE．
（Ⅲ）说明四面体B-CDE的高为BA，求出BA，求出S_△CDE，然后求解V_E-CDE即可．
解答：解：（Ⅰ）证明：∵面ABC⊥面ACDE，面ABC∩面ACDE=AC，CD⊥AC，
∴DC⊥面ABC，（2分）
又∵DC?面BCD，
∴平面BCD⊥平面ABC．（4分）
（Ⅱ）证明：取BD的中点P，连接EP、FP，则PF  DC，
又∵EADC，
∴EAPF，（6分）
∴四边形AFPE是平行四边形，
∴AF∥EP，
又∵EP?面BDE，
∴AF∥面BDE．（8分）
（Ⅲ）解：∵BA⊥AC，面ABC∩面ACDE=AC，
∴BA⊥面ACDE．
∴BA就是四面体B-CDE的高，且BA=2．…（10分）
∵DC=AC=2AE=2，AE∥CD，
∴，
∴S_△CDE=3-1=2，
∴．（12分）
点评：本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力．