Question

在区间［0，1］上给定曲线y=x²，试在此区间内确定点t的值，使图中阴影部分的面积S₁与S₂之和最小.

Answer 1

t=时，S最小，∴最小值为S()=

  S₁面积等于边长为t与t²的矩形面积去掉曲线y=x²与x轴、直线x=t所围成的面积，即

S₁=t·t²-x²dx=t³.
S₂的面积等于曲线y=x²与x轴、x=t,x=1围成的面积减去矩形面积，
矩形边长分别为t²，（1-t），即
S₂=x²dx-t²(1-t)=t³-t²+.
所以阴影部分的面积S为
S=S₁+S₂=t³-t²+（0≤t≤1）.
∵S′(t)=4t²-2t=4t(t-)=0时，得t=0，t=.
当t=时，S最小，∴最小值为S()=.