Question

6．已知：x∈（0，$\frac{1}{2}$），则$\frac{2}{x}$+$\frac{9}{1-2x}$的最小值为25．

Answer 1

分析 由x∈（0，$\frac{1}{2}$），可得1-2x＞0，即有$\frac{2}{x}$+$\frac{9}{1-2x}$=$\frac{4}{2x}$+$\frac{9}{1-2x}$=[2x+（1-2x）]（$\frac{4}{2x}$+$\frac{9}{1-2x}$），展开后，运用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：由x∈（0，$\frac{1}{2}$），可得1-2x＞0，
即有$\frac{2}{x}$+$\frac{9}{1-2x}$=$\frac{4}{2x}$+$\frac{9}{1-2x}$
=[2x+（1-2x）]（$\frac{4}{2x}$+$\frac{9}{1-2x}$）=13+$\frac{4（1-2x）}{2x}$+$\frac{9•2x}{1-2x}$
≥13+2$\sqrt{\frac{4（1-2x）}{2x}•\frac{9•2x}{1-2x}}$=13+12=25．
当且仅当6x=2（1-2x），即x=$\frac{1}{5}$时，取得最小值25．

点评 本题考查最值的求法，注意运用变形的技巧和乘1法，以及基本不等式，考查运算能力，属于中档题．