已知圆C:x2+y2=1,点P(x,y)在直线x-y-2=0上,O为坐标原点,若圆C上存在点Q,使∠OPQ=30°,则x的取值范围是( )
A.[-1,1]
B.[0,1]
C.[-2,2]
D.[0,2]
【答案】分析:根据圆的切线的性质,可知当过P点作圆的切线,切线与OP所成角是圆上的点与OP所成角的最大值,所以只需此角大于等于30°即可,此时半径,切线与OP构成直角三角形,因为切线与OP所成角大于等于30°所以OP小于等于半径的2倍,再用含x的式子表示OP,即可求出x的取值范围.
解答:解:过P作⊙C切线交⊙C于R,根据圆的切线性质,有∠OPR≥∠OPQ=30°.
反过来,如果∠OPR≥30°,则存在⊙C上点Q使得∠OPQ=30°.
∴若圆C上存在点Q,使∠OPQ=30°,则∠OPR≥30°
∵|OR|=1,∴|OP|>2时不成立,∴|OP|≤2.
∵|OP|2=x2+y2=x2+(x-2)2=2x2-4x+2
∴2x2-4x+2≤2,解得,0≤x2≤2∴x的取值范围是[0,2]
故选D
点评:本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质,以及一元二次不等式的解法,综合考察了学生的转化能力,计算能力.