Question

9．已知A={α|2cos²α-3cosα+1≤0，α∈R}，B={α|2^sinα＞1，α∈R}，
（1）求集合A∩B；
（2）若对任意x∈A∩B，都有$cos2x-4sin（{\frac{π}{4}+\frac{x}{2}}）sin（{\frac{π}{4}-\frac{x}{2}}）+m＞0$恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求出关于A、B中的α的范围，从而求出A∩B，（2）问题转化为对任意x∈A∩B，都有m＞$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$（cosx-$\frac{1}{2}$）²恒成立，求出即可．

解答 解（1）A={α|2cos²α-3cosα+1≤0，α∈R}
={α|（2cosα-1）（cosα-1）≤0，α∈R}
={α|$\frac{1}{2}$≤cosα≤1，α∈R}
={α|2kπ-$\frac{π}{3}$≤α≤2kπ+$\frac{π}{3}$，α∈R}，
B={α|2^sinα＞1，α∈R}={α|sinα＞0}={α|2kπ＜α＜2kπ+π}，
∴A∩B={α|2kπ＜α≤2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z}，
（2）由$cos2x-4sin（{\frac{π}{4}+\frac{x}{2}}）sin（{\frac{π}{4}-\frac{x}{2}}）+m＞0$
⇒cos2x-4sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$）cos（$\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$）+m＞0
⇒cos2x-2sin（$\frac{π}{2}$+x）+m＞0
⇒cos2x-2cosx+m＞0
⇒2cos²x-1-2cosx+m＞0
⇒m＞$\frac{3}{2}$-2（cosx-$\frac{1}{2}$）²
∴若对任意x∈A∩B，都有$cos2x-4sin（{\frac{π}{4}+\frac{x}{2}}）sin（{\frac{π}{4}-\frac{x}{2}}）+m＞0$恒成立，
即对任意x∈A∩B，都有m＞$\frac{3}{2}$-2（cosx-$\frac{1}{2}$）²恒成立，
∵x∈（2kπ，2kπ+$\frac{π}{3}$]，∴cosx∈[$\frac{1}{2}$，1），
∴0≤2（cosx-$\frac{1}{2}$）²≤$\frac{1}{2}$，
∴m＞$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了集合的运算，考查三角函数的运算，考查函数恒成立问题，本题是一道中档题．